[物理数学]如果高斯没有故意“装箱”黎曼,估计这个神奇的学科就不会出现…

数学?准备更多橡皮泥!如果你把一个带把手的杯子和一个甜甜圈放在一个人面前,然后问他,”这两样东西有什么不同吗?”普通人可能会回答:这完全是两件事。你需要问有什么不同吗?另一方面,拓扑学家会回答:在更重要的层面上,两者之间没有区别。

这显然是两件事,怎么会没有区别呢?因为在拓扑学家的眼中,杯子和甜甜圈可以通过这种转变转变成同样的东西:这令人惊奇吗?今天,超模金将谈论拓扑学的前世,一个叫做“橡皮泥的几何学”的主题。

拓扑学是一门研究几何图形或空的一些性质的学科,这些性质在不断改变形状后可以保持不变。

换句话说,拓扑学不涉及传统几何意义上的一系列几何特征,如面积、体积和形状,而是涉及更基本的“共性”和“个性”。

这种“共性”和“个性”将导致拓扑对几何图形的分类和空,这与传统几何的分类完全不同。

在拓扑学中,大小和形状失去意义(但不是全部),圆、正方形和三角形是等价的——它们可以通过连续变换彼此相同;足球和橄榄球也是等同的。

然而,足球的表面并不等同于游泳环的表面,这就是为什么形状并没有失去它所有的意义。

这种“共性”和“个性”将导致拓扑对几何图形的分类和空,这与传统几何的分类完全不同。

在拓扑学中,大小和形状失去意义(但不是全部),圆、正方形和三角形是等价的——它们可以通过连续变换彼此相同;足球和橄榄球也是等同的。

然而,足球的表面并不等同于游泳环的表面,这就是为什么形状并没有失去它所有的意义。

莱布尼茨是第一个认识到这种“共性”和“个性”的人。

莱布尼茨:最后,没有人和我争论(看着牛顿)。然而,莱布尼茨感觉到的机会并不是来自他对几何图形或空的直接观察,而是来自他对抽象符号的特殊偏好。

这种特殊的偏好导致莱布尼茨试图用抽象符号来表示物体的几何性质。

然而,当莱布尼茨有这样一个想法时,笛卡尔已经创立了解析几何。用代数讨论几何性质已经不再新颖了。

结果,莱布尼茨皱起眉头不满地说:笛卡尔的方法不好,因为有些几何性质与几何的大小无关。

尽管莱布尼茨意识到了这一点,但他显然不想理解哪些几何性质独立于几何的大小(甚至没有给出一个性质),所以当他同同一时期的许多数学家提到这一点时,他摇摇头,很少注意。

然而,莱布尼茨没有想到的是,300年后,他的话被两位继任者发展成为拓扑学的主要内容。

到了18世纪,拓扑学是由另一个人发展起来的——他给拓扑学贡献了两个“初始定理”。

他的名字是欧拉。

欧拉:作为先驱,一个人必须有这种瞧不起继任者的精神。欧拉的第一个拓扑学定理与普鲁士的哥尼斯堡有关。

Konigsberg有一个公园,有七座桥连接弗里茨普雷格尔河(fritz pregl River)中的两个岛屿和河岸(见下图)。

有人提出了这样一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥,最后回到出发点?欧拉解决了这个问题,并将它转化成一个“一笔画”的几何问题:如下图中,如何只用一笔,就把整个图形画出来?答案是不可能的,因为欧拉给出了这类“一笔画”问题的充分必要条件:奇点的数目必须是0或者2。有人问了这样一个问题:一个行人怎么能一次走过七座桥而不重复或遗漏,最后回到起点?欧拉解决了这个问题,并将其转化为“一笔画”的几何问题:在下图中,如何只用一笔画出整个图形?答案是不可能的,因为欧拉给出了这种“一击”问题的充分必要条件:奇点的数量必须是0或2。

可以看出,在欧拉变换的几何问题中,线段包围的图形形状并不重要,只需要改变点的位置关系即可。

这超越了传统几何学的研究范畴,进入了拓扑学领域。

所谓的“奇点”是指连接到该点的奇数个线段。

“七桥问题”中的四个点是奇点。根据欧拉的充要条件,这个问题不能用“一击”来解决。

所谓的“奇点”是指连接到该点的奇数个线段。

“七桥问题”中的四个点是奇点。根据欧拉的充要条件,这个问题不能用“一击”来解决。

欧拉第二定理也超出了传统几何的范围:如果凸多面体有v顶点、e边和f面,那么它们就是f+v-e=2。

这非常接近莱布尼茨的最初想法。

继欧拉之后,高斯在1833年用线积分定义了空之间两条闭合曲线的圈数,这使得纽结问题(拓扑学中的一个代表性课题)得以发展并进一步丰富拓扑学的内容。

圈数:描述三维空间中两条闭合曲线的圈的数值不变量空。

直观地说,圆圈的数量代表每条曲线缠绕另一条曲线的次数。

周围的数字总是整数,但是根据两条曲线的方向,可以取正数或负数。

扭结问题:研究如何判断一根绳子是否打结,即当两根闭合的绳子缠绕在一起时,如何仅通过观察判断绳子之间是否发生扭结是一个课题。

除了判断绳子是否打结之外,还有如何分类打结的问题。

圈数:描述三维空间中两条闭合曲线的圈的数值不变量空。

直观地说,圆圈的数量代表每条曲线缠绕另一条曲线的次数。

周围的数字总是整数,但是根据两条曲线的方向,可以取正数或负数。

扭结问题:研究如何判断一根绳子是否打结,即当两根闭合的绳子缠绕在一起时,如何仅通过观察判断绳子之间是否发生扭结是一个课题。

除了判断绳子是否打结之外,还有如何分类打结的问题。

当数学家们努力解决这个棘手的问题时,哥廷根大学的一位无薪讲师在他的就职演说中将现代拓扑学带到了世界上。

哥廷根大学的这位无薪讲师是黎曼。

无薪讲师:指工资不固定、收入完全来自听课学生支付的学费的讲师。

无薪讲师:指工资不固定、收入完全来自听课学生支付的学费的讲师。

黎曼:当老师取决于学生的回报…但是黎曼的就职演说并不轻松,或者至少准备得很充分——因为学校委员会在黎曼提交的三个主题中选择了一个黎曼当时没怎么考虑的主题——关于几何的基本假设——作为他就职演说的主题。

现在黎曼感到困惑:为什么你们委员会的想法如此独特?我用了一个不太成熟的话题来总结这些数字,你被它吸引了?!此外,黎曼当时仍然相当贫穷,新受试者的压力使他失去了对情绪的控制。

(爱黎曼一秒钟)但是黎曼终于在7周内准备好了演讲。为了让成员们知道他说了什么,他只展示了一个公式,而忽略了所有的计算细节。

即便如此,成员们还是说:听着!不要。是的。幸运的是,有些人仍然理解它,这个人就是前面提到的高斯先生。

(然而,他也对导致黎曼情绪失控负有责任——黎曼选择了他就职演说的主题。)让我们看看黎曼在就职演说中说的话:黎曼认为几何对象缺乏先验定义,欧几里德公理只假设未定义的几何对象之间的关系,但我们不知道这些关系是如何产生的,甚至不知道几何对象之间为什么会有关系。

他认为几何对象应该是一些多角度的延伸量,反映各种可能的测量属性。

然而,我们所生活的空只是一个特殊的三维扩展,所以欧几里得公理只能从经验中推导出来,而不能从几何对象的基本定义中推导出来。

欧几里得几何的公理和定理只是假设。

然而,我们可以检查这些定理的可能性,然后试图将它们扩展到超出我们日常观察范围的几何。

他给这些扩展量取了一个名字——德语中的mannigfaltigkeit和英语中的流形,意思是“多层”。

中国第一位拓扑学家江泽涵将其翻译为“多种多样的”,即“多样的形式”。

黎曼认为几何对象缺乏先验定义。欧几里德公理只假设未定义的几何对象之间的关系,但我们不知道这些关系是如何产生的,甚至不知道几何对象之间为什么会有关系。

他认为几何对象应该是一些多角度的延伸量,反映各种可能的测量属性。

然而,我们所生活的空只是一个特殊的三维扩展,所以欧几里得公理只能从经验中推导出来,而不能从几何对象的基本定义中推导出来。

欧几里得几何的公理和定理只是假设。

然而,我们可以检查这些定理的可能性,然后试图将它们扩展到超出我们日常观察范围的几何。

他给这些扩展量取了一个名字——德语中的mannigfaltigkeit和英语中的流形,意思是“多层”。

中国第一位拓扑学家江泽涵将其翻译为“多种多样的”,即“多样的形式”。

黎曼还提出了“n维流形”的概念,即流形的局部和n维欧几里德空之间的局部具有相同的拓扑性质,并阐述了可扩展性、可扩展性维数和可扩展性量化的思想。

这些的结合正是现代拓扑学研究的主要内容。

黎曼之后,庞加莱继续研究黎曼留下的N维流形。他创立了通过细分研究流形的基本方法,并引入了许多不变量:基本群、同调、贝蒂数、扭转系数。

然而,最著名的是他在研究三维流形时留下的“庞加莱猜想”(Poincare猜想):任何单个连通的、封闭的三维流形必须与三维球体同胚。

任何单个相连的封闭三维流形必须与三维球体同胚。

简而言之,封闭的三维流形是有界的三维空间空;简单连通性意味着此空中的每条闭合曲线都可以连续收缩到一个点,或者在闭合三维空中,如果每条闭合曲线都可以收缩到一个点,则此空必须是三维球体。简而言之,封闭的三维流形是有界的三维空;单一连通性意味着此空中的每条闭合曲线都可以连续收缩到一个点,或者在闭合三维空中,如果每条闭合曲线都可以收缩到一个点,则此空必须是三维球体。到目前为止,拓扑已经发展了几个成熟的分支:点集拓扑、代数拓扑和同微分拓扑。

这些分支学科极大地拓展了拓扑学的研究范围和研究方法,使拓扑学与其他学科有着深远的联系。例如,物理学中的超导性需要拓扑学的理论支持。

点集拓扑:有时也称为一般拓扑,它研究拓扑空之间数学结构的基本性质,并在此基础上定义。

代数拓扑:使用抽象代数的工具来研究拓扑空之间的数学分支。

微分拓扑:研究微分流形和可微映射的数学分支。

除了拓扑流形,微分流形还有微分结构。

点集拓扑:有时也称为一般拓扑,它研究拓扑空之间数学结构的基本性质,并在此基础上定义。

代数拓扑:使用抽象代数的工具来研究拓扑空之间的数学分支。

微分拓扑:研究微分流形和可微映射的数学分支。

除了拓扑流形,微分流形还有微分结构。

也许看到这里,许多死硬的朋友仍然不明白什么是拓扑研究,这并不重要——因为这是一个极其困难的课题。

我们现在需要知道的是,我们应该始终保持一颗知识的心,不要被现有的认知所束缚,就像拓扑学家面对杯子和甜甜圈时所说的:“在更本质的层面上,这两件事没有区别。

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